Одним из наиболее важных направлений антикризисной стратегии в Российской Федерации представляется ускоренное развитие малого и среднего предпринимательства. Поэтому в настоящее время актуальной представляется подготовка научных рекомендаций по дальнейшему разви­тию малых и средних предприятий, повышению их роли в национальной экономике. Одним из существенных аспектов при этом выступает ресурс­ное обеспечение. Обоснование объемов ресурсов, необходимых для эф­фективного функционирования малого и среднего предпринимательства, может основываться на таких экономико-математических моделях, как производственные функции.

В процессе исследований рассматривались два типа хозяйствующих субъектов: малые предприятия и средние предприятия. При этом учитыва­лось, что совокупности малых и средних предприятий, функционирующих в субъектах нашей страны, специализируются на одинаковых основных видах экономической деятельности, эти предприятия конкурируют на од­них и тех же рынках, имеют во многом аналогичную технологию произ­водства [65].

Целью исследования являлось моделирование зависимостей объемов производства малого и среднего предпринимательства от инвестиций в ос­новные фонды и заработной платы работников с использованием произ­водственных функций. В качестве объекта исследования рассматривались совокупности малых и средних предприятий в субъектах Российской Фе­дерации. В процессе исследований были решены следующие задачи:

выбор и обоснование факторов производственных функций;

определение приемлемых видов производственных функций;

сбор статистических данных и их обработка;

формирование необходимой информационной базы;

определение возможных методов построения функций и соответст­вующих программных средств;

проведение вычислительных экспериментов;

анализ качества полученных функций;

формирование выводов, предложений и рекомендаций.

Обоснование объемов ресурсов, необходимых для эффективного

функционирования малого и среднего предпринимательства, может осно­вываться на таких инструментах, как экономико-математическое модели­рование, и, в частности, производственных функций.

Производственные функции лежат в основе моделирования деятель­ности самых разнообразных производственных структур и систем, от от­дельных предприятий и организаций до регионов, отраслей и экономики страны в целом [5, 24, 33, 35]. Экскурс в историю развития производствен­ной функции приведен в работах Т. М. Хумпхри и С. Митттра. [109, 114]. Т. М. Хумпхри отмечал, что Д. фон Тюнен сформулировал такую зависи­мость в 1840 году. С. Мишра указывал, что математическое представление производственной функции было введено в 1894 году Ф. Викстеедом. Зна­чительный вклад в развитие теории производственных функций связан с работой К. Кобба и П. Дугласа [99]. В нашей стране вопросы оценки про­изводственных функций рассмотрены Г. Б. Клейнером [35]. Он представил алгоритм и этапы построения таких функций. По его мнению, построение производственных функций имеет много общего с построением регресси­онных моделей.

Одно из классических определений производственной функции при­ведено в книге Р. С. Пиндайка и Д. Л. Рубинфельда [62]. Они указывали, что производственная функция отражает объем выпуска продукции, кото­рая может быть произведена при каждом конкретном сочетании факторов производства (ресурсов). В соответствии с указанной выше работой Г. Б. Клейнера производственная функция представляет экономико-статис­тическую модель процесса производства продукции, отражающую устой­чивую закономерную количественную зависимость между объемными по­казателями ресурсов и выпуска [35, 52]. В работе [80] Л. Л. Терехов пред­лагает рассматривать производственную функцию как экономико-матема­тическое выражение зависимости результатов производственной деятель­ности от обусловливающих эти результаты показателей-факторов.

Таким образом, производственные функции являются экономико­математическими моделями процессов производства продукции и количе­ственно выражают устойчивую, закономерную зависимость между ресур­сами и объемами производства. Они выступают в качестве эффективных методов решения задач планирования и прогнозирования деятельности различных предприятий и организаций, производственных комплексов, отраслей и секторов экономики. Опыт показал возможность разработки разнообразных производственных функций для целей экономического анализа и управления. В частности, можно отметить такие выполненные в нашей стране еще в 70-80-х годах прошлого века работы, как [3, 76, 90]. А. И. Анчишкин разработал производственную функцию Кобба-Дугласа для экономики СССР, используя данные за период с 1951 по 1970 год. Эта функция описывала зависимость конечного продукта в сопоставимых це­нах от числа отработанных человеко-часов с учетом квалификации и про­изводственных фондов в постоянных ценах. Д. А. Черников построил ана­логичную производственную функцию за 1971-1980 годы. Производствен­ную функцию национального дохода в СССР по данным за период 1959­1968 годов разработали Б. Г. Серебряков и Н. Л. Эфрос. Необходимо отме­тить, что эти три функции, как и другие исследования отечественных и за­рубежных ученых, основывались на исходных данных, отражающих вре­менные ряды, то есть характеризующих объемы ресурсов и выпуска про­дукции за длительный промежуток времени. Необходимость формирова­ния массива исходных данных за ряд лет обусловлена требованиями зна­чительного количества используемых наблюдений в процессе моделирова­ния. В работе Г. Б. Ходасевича [96] предлагается в качестве минимально допустимого принимать количество наблюдений, в 6 раз превосходящее число факторов производственной функции. Более жесткие требования указаны в работе Р. Харриса [108], который предлагает установить мини­мально необходимое количество наблюдений 52, даже для двухфакторных функций.

Критерии отнесения к предпринимательским структурам за послед­ние годы неоднократно изменялись. Действующий в настоящее время кри­терий был установлен в законе от 24.07.2007 № 209-ФЗ [55]. Учитывая на­личие статистических данных только по итогам каждого года, моделиро­вание возможно за период с 2008 по 2014 год. Количества наблюдений, равного семи, безусловно, недостаточно. Поэтому оценка функций, по­строенных по временным данным, представляется нецелесообразной. Еще основоположник теории производственных функций П. Дуглас [101] ука­зывал, что интересно рассматривать много одновременно функционирую­щих объектов за один определенный промежуток времени. Соответствую­щая работа была выполнена американским экономистом, лауреатом Нобе­левской премии Р. Солоу при построении производственной функции за 1956 год по девяти регионам США [119].

Предлагаемый автором методический подход, основанный на оценке производственных функций по пространственным данным, характеризую­щим показатели деятельности совокупности предпринимательских струк­тур, предусматривает использование статистики по всем субъектам стра­
ны. При проведении расчетов в этом случае могут учитываться данные по совокупностям МСИП во всех субъектах страны. Так, по данным за 2014 год (без учета Крымского федерального округа), в состав самостоятельных (не входящих друг в друга) субъектов страны входили 21 республика, 9 краев, 47 областей, 2 города федерального значения, а также один авто­номный округ. Всего количество совокупностей МСИП, выделенных по территориальному принципу, составляет 80. Отметим, что общее количе­ство наблюдений (80) удовлетворяет наиболее жестким требованиям к ста­тистическим данным для оценки параметров производственной функции.

Гранберг А. Г. [22] отмечал, что в процессе исследований целесооб­разно рассматривать производственные функции с небольшим числом па­раметров, удобным для проведения вычислений и интерпретации.

Уз.13( X

3.^ X3.14

) = Ax

(3.23)

При рассмотрении двухфакторных производственных функций объ­ем производства (уз.1) продукции (продуктов и услуг) описывается как функция, зависящая от двух основных факторов - капитала (х3Л) и труда (x3.2). Ниже приведена двухфакторная производственная функция Кобба- Дугласа, модифицированный вариант которой использовался автором:

В формуле (3.23) показатели степеней при факторах являются кон­стантами и отражают соответственно коэффициенты эластичности объема производства по капиталу (a1) и труду (a2) [35]. Отметим, что в своей пио­нерской работе К. Кобб и П. Дуглас [99] полагали, что сумма этих коэф­фициентов должна быть обязательно равна единице, то есть имеет место постоянная отдача (эффект) от масштаба.

В формуле (3.23) коэффициент функции A отражает зависимость объемов производства от суммарного эффекта всех других (неучтенных) факторов, оказывающих влияние на деятельность рассматриваемых объек­тов и не относящихся к основным факторам производственной функции, а именно капиталу (x3.1) и труду (x3.2). Отметим, что разные авторы давали различное объяснение сущности этого коэффициента. Г. Б. Клейнер указы­вал, что этот коэффициент отражает уровень производительности труда. А. Чубрик [92] писал, что коэффициент A представляет собой параметр,
характеризующий уровень развития технологии. И. Л. Кирилюк [33] пред­ложил считать A коэффициентом, в простейшем случае являющимся кон­стантой, которую часто связывают с уровнем технологий, хотя на самом деле он может зависеть и от других факторов.

Учитывая принятый в отечественной статистике подход [82], объем продукции, производимой малыми и средними предприятиями, а также индивидуальными предпринимателями, принято характеризовать суммар­ным оборотом (выручкой), который складывается из стоимости товаров собственного производства, выполненных собственными силами работ и услуг, а также выручки от продажи приобретенных на стороне товаров.

Проведенный анализ показал, что наибольшее влияние на оборот предпринимательских структур оказывают такие факторы, как основные производственные фонды, инвестиции в основной капитал, численность работников и заработная плата работников. При этом первые два фактора могут быть отнесены к традиционно выделяемому в классической эконо­мической теории обобщенному понятию «капитал», а два вторых фактора связаны с таким понятием, как «труд».

К основным фондам (средствам) [57] относятся объекты, для кото­рых одновременно выполняются следующие условия:

объект предназначен для использования в производстве продукции, при выполнении работ или оказании услуг, для управленческих нужд ор­ганизации;

объект предназначен для использования в течение длительного времени, то есть срока продолжительностью свыше 12 месяцев;

организация не предполагает последующую перепродажу данного объекта;

объект способен приносить организации экономические выгоды (доход) в будущем.

Инвестиции в основной капитал за конкретный год включают затра­ты, осуществленные на приобретение и создание основных фондов, в том числе:

на строительство, реконструкцию, расширение и модернизацию объектов;

на приобретение машин, оборудования, транспортных средств, производственного и хозяйственного инвентаря;

в объекты интеллектуальной собственности, программное обеспе­чение и базы данных для ЭВМ, изобретения, полезные модели, промыш­ленные образцы, селекционные достижения, произведенные нематериаль­ные поисковые затраты.

Анализ структуры основных производственных фондов МСИП пока­зывает, что их основными элементами являются здания и их части, поме­щения, различные сооружения, машины и оборудование, транспортные средства. На эти элементы приходится более 90 % всех основных произ­водственных фондов предпринимательских структур [82].

Решения о выборе в качестве фактора, отражающего капитал в про­изводственных функциях, как уже отмечалось, основываются на сравнении достоинств и недостатков основных фондов и инвестиций в основной ка­питал. В своей работе [77] П. М. Симонов отмечал, что в связи с резким ускорением процессов обновления основных фондов в ряде западных мо­делей в последнее время предлагается использовать «инвестиционные» производственные функции.

В работе В. А. Бессонова и С. В. Цухло [5], Е. Е. Гавриленкова [17] указано, что инвестиции обеспечивают более приемлемые результаты, особенно в условиях неполного использования основных фондов.

В качестве второго фактора производственных функций, как показал проведенный анализ, более целесообразно использовать такой показатель, как заработная плата всех работников предпринимательских структур в ре­гионе. Этот показатель является комплексным и более точно, по сравне­нию с показателем общей численности работников МСИП, отражает осо­бенности, сложившиеся к настоящему времени в конкретных регионах (уровень цен, степень занятости населения и другие социально-экономи­ческие аспекты). Кроме того, использование заработной платы работников в качестве фактора обеспечивает одинаковую размерность всех показате­лей производственной функции.

Как уже отмечалось, каждая предпринимательская структура, высту­пая как самостоятельный хозяйствующий субъект, сама определяет свои цели и задачи исходя из конкретной ситуации и ведет рисковую экономи­ческую деятельность. МСИП являются активными участниками социаль­но-экономических процессов. Очевидно, что оценка производственных функций для отдельных предпринимательских структур с последующим их объединением представляет сложный и трудоемкий процесс, поэтому при моделировании рассматривались совокупности МСИП.

В производственных функциях, описывающих деятельность крупных отраслей, регионов и национальных экономик, исходные данные выража­ются чаще всего в стоимостной форме (Моделирование экономических процессов / под ред. М. В. Грачевой). Это подтверждает целесообразность рассмотрения в качестве фактора труда заработной платы работников МСИП, а не их численности.

Использование пространственных данных обладает также еще одним достоинством. При построении производственных функций на основе вре­менных рядов не всегда коэффициент функции A в формуле (3.23) являет­ся константой. Об этом указывали, в частности, такие авторы, как Е. В. Бо­гатова, Д. Н. Боровской [6, 9]. Кроме того, в ряде работ, например [53], указывается, что эластичность капитала а1 также изменяется во времени. Пространственные данные описывают параметры производственной функции за конкретный период (как правило, один год) и, соответственно, лишены указанных недостатков. Использование пространственных данных по сравнению с временными рядами обладает также следующими пре­имуществами: не требуется учета инфляционных процессов, флуктуаций ценообразования, затрат факторов производства, институциональных осо­бенностей.

Исследования производственных функций, описывающих деятель­ность субъектов малого предпринимательства по пространственным дан­ным, проводятся автором с 2006 года, а первые публикации полученных результатов появились в 2009 году [64, 66, 69]. В процессе исследований были рассмотрены несколько видов производственных функций: линейная, Кобба-Дугласа, постоянной эластичности замещения (constant elasticity of substitution - CES) и Реванкара. Оценка линейной функции свидетельство­вала о том, что она недостаточно адекватно описывает исходные данные.

Сравнение трех степенных производственных функций показало, что все они достаточно хорошо аппроксимируют исходные данные на всем диапа­зоне рассматриваемых значений факторов. Однако по всем критериям функция Кобба-Дугласа немного превосходит две другие функции. Суще­ственно, что в функции Реванкара наложены ограничения на значения сте­пеней при факторах, а в функции постоянной эластичности замещения - на значения коэффициентов при факторах. Для функции Кобба-Дугласа этих ограничений не существует, что позволяет более точно аппроксимировать исходные данные и отразить суть процессов, происходящих в предприни­мательстве каждого субъекта страны. Таким образом, дальнейшие иссле­дования проводились на основе оценки указанной степенной производст­венной функции.

Отметим, что зачастую в отечественной и зарубежной практике рас­сматриваются производственные функции Кобба-Дугласа только с посто­янной отдачей, то есть предполагается равенство суммы показателей сте­пеней в формуле (3.23) единице (a1 + а2 = 1). Вместе с тем, как показали работы П. Ромера и Р. Лукаса [112, 117], возможно также построение функций, отражающих возрастающую отдачу от масштаба («1 + «2 > 1) и убывающую отдачу от масштаба («1 + «2 < 1).

В процессе исследований была проведена оценка производственных функций для описания выпуска (объема производства) совокупности предпринимательских структур, объединенных по пространственному принципу, за один календарный год. В качестве функций рассматривались модифицированные двухфакторные производственные функции Кобба- Дугласа.

Исследования проводились на основе статистических данных Феде­ральной службы государственной статистики по данным за 2014 год, пред­ставленным на сайте [83]. Определение параметров производственных функций производилось с использованием методологии регрессионного анализа. Для решения поставленных задач и обработки информации при­менялись компьютерные программы Microsoft Excel, Mathcad.

Производственные функции, отражающие зависимость оборота со­вокупностей малых и средних предприятий от инвестиций в основные
производственные фонды и заработной платы работников в субъектах Рос­сийской Федерации, представлены далее. Все приведенные в статье фор­мулы и таблицы разработаны автором.

>3.14( *3.15

(3.24)

\ П АО-)                U,1/4         0,86

*3.16 ) = 7,083 Х *3.15 Х *3.16

Первая из указанных функций имеет вид:

где >3.14 - оборот совокупности малых и средних предприятий по субъектам страны, млрд руб.;

*3.15 - инвестиции в основной капитал малых предприятий по соот­ветствующему субъекту страны, млрд руб.;

*3.16 - заработная плата работников средних предприятий по соответ­ствующему субъекту страны, млрд руб.

>3.15 (*3.17

8,658 х *30,11747

Х *

0,891 3.18 ,

(3.25)

* )

3.18 /

Производственная функция по совокупности средних предприятий приведена ниже:

где >3.15 - оборот совокупности средних предприятий по субъекту страны, млрд руб.;

*3.17 - инвестиции в основной капитал средних предприятий по соот­ветствующему субъекту страны, млрд руб.;

*3.18 - заработная плата работников средних предприятий по соответ­ствующему субъекту страны, млрд руб.

>3.16 ( *3.19, *3.20 )-7,123х *

0,175

3.19

х *

0,865

3.20

>3.17 (*3.21 *3.22 )

8,

293 х *

0,148

3.21

х *

0,917

3.22

(3.26)

(3.27)

Учитывая существенные отличия показателей по совокупностям ма­лых и средних предприятий городов федерального значения - Москвы и Санкт-Петербурга, были оценены производственные функции по субъек­там страны, исключая данные по предприятиям этих городов. Соответст­вующие производственные функции приведены ниже:

Условные обозначения в функциях (3.26) и (3.27) аналогичны функ­циям (3.24) и (3.25).

Сравнение функций (3.24) и (3.26), а также (3.25) и (3.27) показало, что параметры этих функций отличаются менее чем на 5 %. Поэтому обо­рот совокупностей малых и средних предприятий всех субъектов страны, включая мегаполисы, возможно описывать с использованием функций (3.24) и (3.26).

При изменении институциональных и экономических условий может происходить переход малых предприятий в средние и наоборот. Учитывая это, определенный интерес представляет оценка производственной функ­ции по совокупности всех малых и средних предприятий, расположенных в субъектах страны. Такая функция приведена ниже:

, Л-'ГООП 0,201 0,843

^3.18( *3^ Х3.24) 7,290 х Х3.23 Х x3.24

Условные обозначения в функции (3.28) аналогичны функции (3.24).

Логический анализ производственных функций показал, что они адекватно описывают закономерности деятельности совокупностей малых и средних предприятий в субъектах страны на всем диапазоне изменения значений факторов.

В таблицах 3.24 и 3.25 представлены расчетные значения статистик для проверки качества по всем пяти приведенным в статье производствен­ным функциям.

Расчетные значения для проверки качества

Таблица 3.24

Номер

функции

Коэффициент

детерминации

Коэффициент

корреляции

Расчетное значение по критерию Фишера-Снедекора

(3.24)

0,960

0,980

895,493

(3.25)

0,911

0,954

377,635

(3.26)

0,954

0,977

752,820

(3.27)

0,911

0,954

367,718

(3.28)

0,959

0,979

862,139

В таблице 3.25 приведены расчетные значения по одному из наибо­лее существенных критериев оценки качества - критерию Стьюдента, а также величины стандартных ошибок.

Таблица 3.25

Итоги анализа по критерию Стьюдента и по значениям стандартных ошибок

Номер

функции

Расчетное значение критерия Стьюдента

Стандартная ошибка

коэффициент

функции

первый

фактор

второй

фактор

коэффициент

функции

первый

фактор

второй

фактор

(3.24)

23,240

6,211

29,413

0,084

0,028

0,029

(3.25)

29,576

2,491

14,916

0,072

0,059

0,060

(3.26)

21,141

6,047

26,163

0,093

0,029

0,033

(3.27)

28,592

2,550

15,245

0,074

0,058

0,060

(3.28)

22,467

5,390

24,254

0,088

0,037

0,035

Сравнение приведенных в таблицах 3.24 и 3.25 расчетных значений с величинами критериев, которые представлены в литературе, показало, что все производственные функции обладают высоким качеством. Так, коэф­фициенты корреляции больше 0,95 и близки к единице. Коэффициенты де­терминации характеризуют качество уравнения регрессии [25]. Чем ближе коэффициент детерминации к единице, тем ближе к функциональной зави­симость между объемом производства и рассмотренными факторами. По мнению Н. Дрейпера и Г. Смита [27], модели регрессии успешны, когда коэффициенты детерминации больше 0,8. При этом разность между еди­ницей и коэффициентом детерминации описывает долю дисперсии объема производства, которая обусловлена влиянием других факторов, не вклю­ченных в производственную функцию. Анализ данных таблицы 3.24 по­зволяет сделать вывод, что модели (3.24) - (3.28) объясняют более 91 % вариации зависимых переменных. Соответственно, на другие факторы (не рассматриваемые нами) приходится не более 9 %.

Расчетные значения статистик по всем функциям намного больше табличной величины критерия Фишера-Снедекора, равной 3,15. Данные таблицы 3.25 показывают, что по функциям (3.24) - (3.28) все расчетные значения критерия Стьюдента при уровне значимости, равном 0,05, боль­ше табличного значения 1,99. Стандартные ошибки по коэффициентам и факторам функций невелики (менее 0,1).

Анализ производственных функций позволил установить ряд зако­номерностей, характерных для сектора предпринимательства в экономике России.

Значения степеней при обоих факторах в функциях положительны, и, следовательно, с ростом значений каждого из двух факторов оборот пред­принимательских структур увеличивается. Причем на рассматриваемом диапазоне значений факторов функции не достигают своего максимума. Это подтверждается тем, что значения предельной отдачи по обоим факто­рам для всех функций положительны на рассматриваемых диапазонах из­менения значений факторов. Из этого может быть сделан вывод о том, что экономика субъектов Российской Федерации не достигла насыщения про­дукцией предпринимательского сектора и он имеет существенные резервы для дальнейшего развития.

Суммы значений показателей степеней при факторах всех производ­ственных функций больше единицы, что свидетельствует о возрастающей отдаче от масштаба. То есть при одновременном увеличении обоих факто­ров (инвестиций и заработной платы) рост оборота идет быстрее, чем рост факторов. Например, при росте обоих факторов в функции (3.24) на 10 % оборот возрастает на 10,41 %. Соответственно, для функции (3.25) рост со­ставляет 10,38 %. Опережающее увеличение оборота при одновременном росте факторов имеет важное экономическое и социальное значение.

Перекрестные производные производственных функций по каждому из двух факторов положительны для любых значений диапазона изменения факторов, поэтому увеличение одного из факторов улучшает условия ис­пользования другого фактора. Так, рост заработной платы работников улучшает отдачу от основных производственных фондов. И наоборот, уве­личение основных фондов повышает уровень использования заработной платы.

Эластичность оборота по инвестициям в основные производствен­ные фонды меньше эластичности оборота по заработной плате, что свиде­тельствует о том, что для рассматриваемых производственных функций характерен фондосберегающий (экстенсивный) рост оборота.

Вторые производные всех изоквант положительные. При этом уро­вень их выпуклости уменьшается при росте оборота совокупности малых и средних предприятий, что свидетельствует, по мнению А. Г. Гранберга [22], об увеличении эластичности замены факторов: с ростом оборота предпри­нимательских структур возрастают возможности замены одного фактора другим.

Фактор заработной платы работников в функциях (3.25) - (3.28) влияет на оборот малых и средних предприятий в большей степени, чем фактор инвестиций в основные производственные фонды. Это представля­ется логичным, поскольку для этих предприятий характерны относительно небольшие основные фонды.

В процессе исследований была показана возможность моделирова­ния зависимости между ресурсами и объемом производства малых и сред­них предприятий с использованием степенных двухфакторных производ­ственных функций. В качестве фактора, отражающего затраты капитала, использовались инвестиции в основные производственные фонды. Затраты труда описывались таким комплексным фактором, как заработная плата работников. Оценка производственных функций проводилась по простран­ственным данным за 2014 год, характеризующим деятельность совокупно­стей малых предприятий и средних предприятий, функционирующих в субъектах Российской Федерации.

Анализ всех производственных функций показал, что они обладают высоким качеством по всем рассмотренным критериям, а также их адек­ватность, а именно то, что они хорошо аппроксимируют исходные стати­стические данные на всем интервале изменения значений каждого из фак­торов. Полученные функции не перегружены второстепенными факторами.

Практическая значимость исследования заключается в том, что его результаты могут быть использованы для обоснования потребностей в ин­вестициях и трудовых ресурсах, мониторинга уровня развития малого и среднего предпринимательства в регионах страны.